Информатика -продвинутый курс



         

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ


То, что тела могут проводить тепло, общеизвестно. Если один из концов длинного стержня поместить в костер, то, если стержень сделан не из горючего или легко плавящегося материала, другой конец через некоторое время тоже нагреется; как быстро и насколько - зависит от материала, размеров стержня и других факторов. Процесс теплопроводности - один из, так называемых, процессов тепломассопереноса, играющих огромную роль в природе и в технике. Другие процессы такого рода - диффузия, благодаря которой смешиваются разные жидкости или газы, процессы гидро- и аэродинамики (т.е. переноса (движения) жидкостей и газов).

Хотя каждый из таких процессов имеет собственные закономерности, между ними много общего. Эти процессы происходят в сплошной среде, о которой шла речь выше; при их математическом моделировании используется один и тот же математический аппарат-дифференциальные уравнения в частных производных.

Ограничимся одной из самых простых задач данного класса - переносом тепла в однородном стержне. Рассмотрим линейный стержень, боковая поверхность которого не проводит тепла (теплонзолирована). Если в начальный момент стержень неравномерно нагрет, то в нем будет происходить перераспределение тепла; при отсутствии внутренних источников тепла его температура, в конце концов, выровняется.

Поскольку стержень линеен и однороден, то распределение температуры в пространстве характеризуется одной координатой x.

Температура (обозначим ее u) зависит от х; кроме того, она может меняться со временем, т.е. является функций двух переменных и(х, t). Изменение этой функции вдоль стержня, «скорость» которого определяется производной пол x, и изменение ее со временем, скорость которого определяется производной по t, взаимосвязаны и, как будет показано ниже, входят в одно уравнение.

Уравнение теплопроводности.

Получим уравнение, описывающее процесс изменения температуры в стержне. Фиксируем некоторую точку x0

(рис. 7.29) и выделим около нее малый участок стержня длиной ?x.


Содержание  Назад  Вперед