МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ - часть 8

Схема (7.57) с точки зрения быстродействия малоэффективна, с точки зрения объема памяти - вполне удовлетворительна, так как, получив значения и

на некотором временном слое, не обязательно сохранять в ОЗУ значения на предыдущем слое (их можно вывести на диск или на печать).

Получим более эффективный и устойчивый метод. Он аналогичен переходу от метода Эйлера к одному из вариантов метода Рунге - Кутта второго порядка (называемому иногда модифицированным методом Эйлера). Усредним пространственный член уравнения (7.49) по времени:

(7.58)

Это, безусловно, лучшая чем в (7.57) аппроксимация производной

. Исследование показывает, что схема (7.58) (называемая в литературе схемой Кранка-Николсона) абсолютно устойчива и более эффективна.

Расплатой за эффективность является то, что (7.58) - неявная схема, т.е. не формула для непосредственного расчета, как (7.57), а система линейных алгебраических уравнений для величин u

, u

, …, u

которую еще предстоит решать (поскольку неизвестные на (k + 1)-м временном слое величины u

входят и в левую, и в правую часть (7.58)). Поскольку неявные схемы, как правило, устойчивей, к ним прибегают часто.

Заметим, что (7.58) есть система специального вида - с трехдиагональной матрицей. В самом деле, если выписать первое, последнее и некоторое промежуточное ;'-е уравнения, перенося неизвестные в левые части, получим

(7.59)

Конечно, к таким системам можно применять стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но для них существует и специализированный высокоэффективный метод, называемый «методом прогонки». За деталями отсылаем к учебникам по численным методам.

Пример.

Рассмотрим динамику изменения температуры в стержне длиной 4 м с теплоизолированными концами, температура на которых поддерживается постоянной и равна 3°С с начальным условием f(x) = -0,5x2 + 2x + 3. Коэффициент а в уравнении (7.49) примем равным 0,78 (выбор этот достаточно произволен).

Для демонстрации работы явной схемы (7.57) произведем расчеты по этой формуле на первом шаге.

Содержание Назад Вперед