с точки зрения быстродействия малоэффективна,

Схема (7.57) с точки зрения быстродействия малоэффективна, с точки зрения объема памяти - вполне удовлетворительна, так как, получив значения и

на некотором временном слое, не обязательно сохранять в ОЗУ значения на предыдущем слое (их можно вывести на диск или на печать).

Получим более эффективный и устойчивый метод. Он аналогичен переходу от метода Эйлера к одному из вариантов метода Рунге - Кутта второго порядка (называемому иногда модифицированным методом Эйлера). Усредним пространственный член уравнения (7.49) по времени:

(7.58)

Это, безусловно, лучшая чем в (7.57) аппроксимация производной

. Исследование показывает, что схема (7.58) (называемая в литературе схемой Кранка-Николсона) абсолютно устойчива и более эффективна.

Расплатой за эффективность является то, что (7.58) - неявная схема, т.е. не формула для непосредственного расчета, как (7.57), а система линейных алгебраических уравнений для величин u

, u

, …, u

которую еще предстоит решать (поскольку неизвестные на (k + 1)-м временном слое величины u

входят и в левую, и в правую часть (7.58)). Поскольку неявные схемы, как правило, устойчивей, к ним прибегают часто.

Заметим, что (7.58) есть система специального вида - с трехдиагональной матрицей. В самом деле, если выписать первое, последнее и некоторое промежуточное ;'-е уравнения, перенося неизвестные в левые части, получим

(7.59)

Конечно, к таким системам можно применять стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, но для них существует и специализированный высокоэффективный метод, называемый «методом прогонки». За деталями отсылаем к учебникам по численным методам.

Пример.

Рассмотрим динамику изменения температуры в стержне длиной 4 м с теплоизолированными концами, температура на которых поддерживается постоянной и равна 3°С с начальным условием f(x) = -0,5x2 + 2x + 3. Коэффициент а в уравнении (7.49) примем равным 0,78 (выбор этот достаточно произволен).

Для демонстрации работы явной схемы (7.57) произведем расчеты по этой формуле на первом шаге.

Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий