Информатика -продвинутый курс
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ - часть 4
Учитывая, что плотность энергии ? (
где и = u (
Далее будет продолжено лишь рассмотрение задачи о теплопроводности в стержне.
Начальные и краевые условия.
Уравнения (7.49), (7.50) описывают процесс изменения температуры тела (перенос тепла) во времени и в пространстве. Ясно, что для отслеживания такого процесса надо знать распределение температуры в теле в некоторый начальный момент времени:
где f(x) - заданная функция. Кроме того, в тех местах, где возможен теплообмен с окружающей средой, надо знать условия этого теплообмена. Для стержня с теплоизолированной боковой поверхностью такими местами являются концы. Пусть длина стержня l; если один конец имеет координату x = 0, а.
другой - x
= l, то простейший вариант краевых условий - постоянная (но не обязательно одинаковая) температура на каждом конце стержня:
Нижеследующее утверждение физически очевидно, но его строгое математическое доказательство весьма непросто: дифференциальное уравнение (7.49) при начальном условии (7.51) и краевых условиях (7.52) имеет единственное решение.
Аналитические методы решения задачи одномерной теплопроводности существуют, но требуют значительной математической подготовки, к тому же решение обычно получается в виде ряда Фурье, и по его виду протекание процесса неочевидно. В двух- и трехмерном случаях аналитическое решение чаще всего получить не удается (по крайней мере, в практически полезном виде). Как и всюду в этой главе, ниже мы используем простейшие численные методы его решения. Вначале, однако, приведем графические результаты решений простейших задач (заимствованные из книги И.Г.Арамановича и В.И.Левина «Уравнения математической физики», Москва, 1969), способствующие пониманию рассматриваемой проблемы.
Пример 1. В конечном стержне (с теплоизолированной боковой поверхностью) оба торцевых сечения теплоизолированы, а начальная температура распределена по следующему закону:
