Пусть за то же время

Пусть за то же время температура участка изменилась на ?u; как известно, это связано с изменением ?Q соотношением ?Q

= mc?u, где т - масса, с - удельная теплоемкость. Приравняем два выражения для ?Q:

Поскольку массу можно представить как т = ?•S•?x (? - плотность вещества), то, поделив обе части уравнения на ?t и перейдя к пределу при ?t > 0, получим

(7.48)

Это - основное уравнение теплопроводности для однородного стержня. Как следует из процедуры вывода, это уравнение локально, т.е. в данный момент времени и в данной точке выражает закон сохранения энергии.

В уравнение (7.48) входят три постоянные, характеризующие вещество. Удобно объединить их в одну, переписав уравнение в виде

(7.49)

где
- так называемый, коэффициент температуропроводности. Обозначение а2 в (7.49) удобно, так как фиксирует знак этого коэффициента - он всегда положителен.

Уравнение (7.49) - одно из самых простых дифференциальных уравнений в частных производных. Несмотря на его элементарный вид, решение такого уравнения даже в простейшей ситуации есть весьма сложная задача.

Уравнение теплопроводности в трехмерном случае. Описанный выше вывод уравнения теплопроводности достаточно элементарен. Рассмотрим вывод уравнения теплопроводности в трехмерном случае, используя более общий аппарат математического анализа.

Рис. 7.31. Иллюстрация к выводу уравнения теплопроводности в трехмерном случае

Рассмотрим некоторое тело (V), ограниченное поверхностью (S) (рис. 7.31). Закон сохранения энергии должен выполняться для любой части тела (V). По этому закону скорость изменения энергии в теле равна потокуэнергии через его границу. Имеем для энергии в объеме V

где ? (

, t) - объемная плотность энергии.

Поток энергии через границу тела S равен

- поток энергии. В этих формулах фигурируют тройной и поверхностный (первого рода) интегралы. Закон сохранения энергии (интегральный) примет вид

Применяя к правой части теорему Остроградского- Гаусса, получаем

Поскольку это соотношение должно выполняться для любой части тела (V), то необходимо и достаточно, чтобы в любой точке

и в любое мгновение t имело место равенство нулю подынтегрального выражения.

Содержание Назад Вперед