Искомое уравнение есть по существу
Искомое уравнение есть по существу уравнение теплового баланса (т.е. сохранения энергии): изменение количества тепла в избранном участке стержня за счет притока и (или) оттока его через два сечения приведет к нагреванию или охлаждению этого участка в соответствии с его теплоемкостью. Выразим все это математическим языком.
Рис. 7.29. Участок линейного стержня
Количество тепла, проходящее через поперечное сечение стержня в точке x0
за время ?t, пропорционально площади поперечного сечения S,
градиенту температуры
и промежутку времени ?t:
~
, рис. 7.30. Если с S и ?t все очевидно, то появление производной
требует пояснении. За ней стоит тот экспериментальный факт, что поток тепла ?Q, через некоторый участок стержня длиной ?х тем больше, чем больше разность температур (|и1| - |u2|) на его концах и чем меньше расстояние ?х:
Вводя коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом теплопроводности, получаем
Значение k определяется материалом стержня и для нескольких материалов приведено в табл. 7.6 (в единицах системы СИ:
).
Таким образом, различия в теплопроводности разных материалов огромны.
Рис. 7.30. Поток тепла через участок стержня длиной ?х
Теперь запишем количество тепла, проходящее через сечение в точке х = x0 + ?x:. Оно определяется, естественно, той же формулой:
с условием, что производная
берется в точке х = x0 + ?х. Для получения искомого уравнения ее надо выразить через значение в точке x0.
Таблица 7.6
Значение коэффициента теплопроводности для некоторых материалов
Медь
|
384
|
Лед (0° С)
|
2,23
|
Асбест
|
0,4 - 0,8
|
Алюминий
|
209
|
Бетон
|
0,7 - 0,2
|
Дерево
|
0,1 - 0,2
|
Сталь
|
47
|
Кирпич
|
0,7
|
Воздух
|
0,034
|
Имеем, ограничиваясь первым порядком приращения
?x,
в силу чего
Если через сечения х = х0
и х = x0 + ?x за время ?t прошло разное количество тепла, то та его часть, которая пошла на нагревание (или, в зависимости от знака, на охлаждение) этого участка стержня, есть
Содержание Назад Вперед