Информатика -продвинутый курс


         

Искомое уравнение есть по существу


Искомое уравнение есть по существу уравнение теплового баланса (т.е. сохранения энергии): изменение количества тепла в избранном участке стержня за счет притока и (или) оттока его через два сечения приведет к нагреванию или охлаждению этого участка в соответствии с его теплоемкостью. Выразим все это математическим языком.



Рис. 7.29. Участок линейного стержня

Количество тепла, проходящее через поперечное сечение стержня в точке x0

за время ?t, пропорционально площади поперечного сечения S,

градиенту температуры
 и промежутку времени ?t:
~
, рис. 7.30. Если с S и ?t все очевидно, то появление производной
 требует пояснении. За ней стоит тот экспериментальный факт, что поток тепла ?Q, через некоторый участок стержня длиной ?х тем больше, чем больше разность температур (|и1| - |u2|) на его концах и чем меньше расстояние ?х:



Вводя коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом теплопроводности, получаем



Значение k определяется материалом стержня и для нескольких материалов приведено в табл. 7.6 (в единицах системы СИ:
).

Таким образом, различия в теплопроводности разных материалов огромны.



Рис. 7.30. Поток тепла через участок стержня длиной ?х

Теперь запишем количество тепла, проходящее через сечение в точке х = x0 + ?x:. Оно определяется, естественно, той же формулой:



с условием, что производная
 берется в точке х = x0 + ?х. Для получения искомого уравнения ее надо выразить через значение в точке x0.

Таблица 7.6

Значение коэффициента теплопроводности для некоторых материалов





















































Медь



384



Лед (0° С)



2,23



Асбест



0,4 - 0,8



Алюминий



209



Бетон



0,7 - 0,2



Дерево



0,1 - 0,2



Сталь



47



Кирпич



0,7



Воздух



0,034



Имеем, ограничиваясь первым порядком приращения

?x,



в силу чего



Если через сечения х = х0

и х = x0 + ?x за время ?t прошло разное количество тепла, то та его часть, которая пошла на нагревание (или, в зависимости от знака, на охлаждение) этого участка стержня, есть


Содержание  Назад  Вперед