Искомое уравнение есть по существу

Искомое уравнение есть по существу уравнение теплового баланса (т.е. сохранения энергии): изменение количества тепла в избранном участке стержня за счет притока и (или) оттока его через два сечения приведет к нагреванию или охлаждению этого участка в соответствии с его теплоемкостью. Выразим все это математическим языком.

Рис. 7.29. Участок линейного стержня

Количество тепла, проходящее через поперечное сечение стержня в точке x0

за время ?t, пропорционально площади поперечного сечения S,

градиенту температуры

и промежутку времени ?t:

, рис. 7.30. Если с S и ?t все очевидно, то появление производной

требует пояснении. За ней стоит тот экспериментальный факт, что поток тепла ?Q, через некоторый участок стержня длиной ?х тем больше, чем больше разность температур (|и1| - |u2|) на его концах и чем меньше расстояние ?х:

Вводя коэффициент пропорциональности k, называемый коэффициентом теплопроводности, получаем

Значение k определяется материалом стержня и для нескольких материалов приведено в табл. 7.6 (в единицах системы СИ:

).

Таким образом, различия в теплопроводности разных материалов огромны.

Рис. 7.30. Поток тепла через участок стержня длиной ?х

Теперь запишем количество тепла, проходящее через сечение в точке х = x0 + ?x:. Оно определяется, естественно, той же формулой:

с условием, что производная

берется в точке х = x0 + ?х. Для получения искомого уравнения ее надо выразить через значение в точке x0.

Таблица 7.6

Значение коэффициента теплопроводности для некоторых материалов

Медь	384	Лед (0° С)	2,23	Асбест	0,4 - 0,8
Алюминий	209	Бетон	0,7 - 0,2	Дерево	0,1 - 0,2
Сталь	47	Кирпич	0,7	Воздух	0,034

Имеем, ограничиваясь первым порядком приращения

?x,

в силу чего

Если через сечения х = х0

и х = x0 + ?x за время ?t прошло разное количество тепла, то та его часть, которая пошла на нагревание (или, в зависимости от знака, на охлаждение) этого участка стержня, есть

Содержание Назад Вперед