Информатика -продвинутый курс



         

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА - часть 8


(7.41)

Здесь

. Затем, медленно увеличивая ? (например, с шагом 0,01) и не меняя ?,

интегрировать уравнение (7.41), пока не попадешь в зону неустойчивости, и далее, пока не выйдешь из нее. Затем следует увеличить ? (например, взяв ? = 0,2) и снова повторить процедуру прохождения по значениям ? и т.д. - постепенно вырисуется картина границы зоны параметрического резонанса на фазовой плоскости.

Нарастание колебаний при параметрическом резонансе, описываемом уравнением (7.40), является неограниченным. Физически такого быть не может. Ограничение амплитуды колебаний наступает либо за счет учета трения, либо при возврате к sin? в уравнении (7.39), либо за счет обоих факторов. Следует учесть, что наличие трения не только ограничивает размах параметрических колебаний, но и «приподнимает» зоны параметрического резонанса над осью ?

на фазовой плоскости ?, ?, причем в разной мере. Моделирование этого и других явлений при параметрическом резонансе - интересная исследовательская работа.

Многогранность задачи об одномерных колебаниях. Колебания математического маятника одномерны в том смысле, что они описываются одной функцией ?(t) (хотя они и происходят в двумерном пространстве - плоскости, но жесткий стержень ликвидирует одну из степеней свободы, и в обычных декартовых координатах x(t), y(t) выражаются друг через друга).

Оказывается, что рассмотренные выше уравнения, особенно линейные (т.е. малых колебаний), обладают высокой универсальностью и описывают ряд процессов в механике твердых тел, газов, в электродинамике и т.д. Так, уравнение малых колебаний

(7.42)

описывает указанные ниже и другие системы (при этом в х, к, ? вкладывается совершенно разный физический смысл):

• математический маятник:

• пружинный маятник, где сила, действующая на тело. определяется законом Гука;

• «физический» маятник-тело, свободно вращающееся около горизонтальной оси;

• крутильный маятник наручных часов - симметричное тело, совершающее колебания около вертикальной оси под действием спиральной пружины;

• ток в колебательном контуре;

• акустический резонатор Гельмгольца, в котором происходят колебания воздуха в колбе с широким горлышком;

• колебания магнитной стрелки компаса.

Таким образом, наше внимание к колебательному движению не является преувеличенным.

Интересно, что при больших амплитудах универсальность колебательных движений нарушается. Так, sin? в уравнении для математического маятника для других движении заменяется другой нелинейной функцией, и всякий раз задачу приходится решать заново и, чаще всего, численно.




Содержание  Назад  Вперед