Информатика -продвинутый курс



     Коттеджи в Кемерово по материалам sibestate.ru. |     

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА - часть 7


В этом случае колебательные движения называют параметрическими.

Простейший пример - раскачивание качелей усилиями того человека, который стоит на этих качелях Все знают, что, приседая, и отталкиваясь «в такт», можно сильно разогнать качели. Указанные приседания сводятся к периодическому изменению центра тяжести системы, или, что почти равносильно, длины нити подвеса Поскольку длина нити подвеса определяет частоту колебаний, то математическая модель явления – уравнение

(7.39)

где ?(t) — заданная функция, определяющая закон изменения частоты. Мы ограничимся простейшим случаем гармонического изменения ?2(t):

где ?

- частота изменения величины ?2(t).

При малых амплитудах колебаний и отсутствии трения уравнение (7.39) превращается в

Решение любого из этих уравнений возможно лишь численно Одна из интереснейших особенностей уравнения (7.40) - так называемый, параметрический резонанс - допускает частичное аналитическое исследование, однако слишком сложное, чтобы его здесь приводить. Параметрический резонанс состоит в том, что при некоторых соотношениях частот ? и ?0, а именно

,
,
,
,... и при определенных значениях величины ?

в системе возникают нарастающие колебания. На рис. 7.23 схематически изображена фазовая диаграмма системы в переменных

 и ?, на ней заштрихованы зоны параметрического резонанса.

Рис. 7.23 Фазовая диаграмма с зонами параметрического резонанса

Понимать такую фазовую диаграмму надо следующим образом: если значения параметров у, а

принадлежат заштрихованной области, то при них имеет место параметрический резонанс. Очень интересно то, что он наступает скачком при пересечении границы на фазовой плоскости.

Как можно численно установить границу зоны параметрического резонанса, например, первой? - Для этого надо задаться некоторыми значениями ?

(например, 0,1) и ?

(например, 0,3), не принадлежащими зоне неустойчивости, и проинтегрировать численно уравнение (7.40). Удобно предварительно обезразмерить время переменной ? = ?0t, после чего уравнение примет вид




Содержание  Назад  Вперед