Информатика -продвинутый курс



         

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА - часть 6


Численное интегрирование уравнения (7.37) необязательно, так как решение можно записать в виде формул, содержащих лишь элементарные функции:

(7.38)

А

и В — произвольные постоянные, находятся из начальных условий.

Исследования переходного процесса установления стационарных вынужденных колебаний, резонанса, биений, возникающих при k = 0 и ? ? ?1  (рис. 7.20-7.22), могут быть, конечно, проведены с использованием формул (7.38) простым табулированием с выводом результатов на экран компьютера в форме, удобной для восприятия; они же могут быть и объектами численного моделирования.

Рис. 7.20. Установление стационарных вынужденных колебаний маятника

при наличии трения при к = 0,5; ? = ?/2, ? = ?, f = 2?.

Рис. 7.21. Биения в системе с близкими частотами собственных колебаний

и с вынуждающей силой при k = 0; ? = 889?/9000, ? = ?/9, f = ?/70

Возвратимся к уравнению нелинейных вынужденных колебаний (7.36). Его аналитическое решение отсутствует, и возможно лишь численное. Сформулируем ряд задач: как нелинейность влияет (при больших амплитудах движения) на период вынужденных колебаний, на резонанс, на период биений при ? ? ? и т.д. Однако математики и физики давно убедились в том, что переход от линейного к нелинейному может изменить не только количественные характеристики процесса, но и дать новое качество. В данном случае - возникновение при некоторых условиях хаотического движения маятника. Сама возможность возникновения таких движений в простых динамических системах была обнаружена относительно недавно и поразила воображение многих математиков, физиков, химиков, биологов, в которых ситуации с хаотическими движениями, как оказалось, отнюдь не редкость. Пример такого процесса будет приведен впоследствии.

Рис. 7.22. Возрастание амплитуды колебаний при прохождении через резонанс при k =

0; ? = 889?/9000, ? = ?/9, f = ?/70

Параметрические колебания.

Рассмотрим еще один вид колебаний маятника, когда на него внешние силы непосредственно не действуют, но внутри системы происходят некоторые события, приводящие к зависимости от времени параметров, входящих в уравнение движения.


Содержание  Назад  Вперед