Информатика -продвинутый курс



         

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА - часть 5


Колебания маятника при наличии трения. Поскольку сила трения при малых скоростях пропорциональна скорости, а скорость

, то уравнение свободных колебаний маятника с учетом трения выглядит так:

Преобразуем его к виду

(7.34)

где, как и выше,

, а
 (коэффициент 2 записан по традиции для К / 2т удобства). При малых колебаниях уравнение (7.34) превращается в

(7.35)

Его решение таково: затухающие колебания при к < ? и затухание без колебаний при к ? ?. Все это можно проверить в ходе численного моделирования, хотя уравнение (7.35) допускает аналитическое решение. Приведем его: при к < ?

где

, А -

амплитуда, ? - начальная фаза (А и ? легко выразить через начальные значения ?0 и v0). При k ? ?

где А и В также можно выразить через ?0 и v0.

Что же касается уравнения (7.34), то его аналитическое решение отсутствует, и при численном моделировании можно поставить ряд задач о том, насколько решения уравнений (7.34) и (7.35) различаются в зависимости от начальной амплитуды.

Вынужденные колебания. Если на маятник воздействует внешняя сила F(t),

меняющаяся со временем, то уравнения движения получаются из (7.34) добавлением F(t) к правой части. Рассмотрим лишь случай периодического внешнего воздействия: F(t) = F0 cos ?t, где ?

- частота вынуждающей силы. Имеем уравнение движения маятника:

(7.36)

где

. При малой амплитуде результирующего движения уравнение (7.36) примет вид

(7.37)

Движение, описываемое уравнением (7.37), состоит из двух этапов. На первом оно складывается из двух колебательных движений: затухающих собственных колебаний с частотой

 (при к < ?) и вынужденных колебаний с частотой ?. На втором этапе, по истечении времени t >> 1/k, остаются лишь вынужденные периодические колебания, амплитуда которых зависит от соотношения частот ? и ?1 и резко возрастает при ? ? ?1 - явление резонанса, описанное в любом учебнике физики.


Содержание  Назад  Вперед