Информатика -продвинутый курс



         

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА - часть 4


Для тех, кто не изучал соответствующий раздел математики, дадим представление о нем на данном примере. Поскольку тригонометрические функции, соответствующие гармоническому движению, хорошо изучены и привычны, то стремление передать периодическое (но не гармоническое) движение хотя бы суммой нескольких гармонических вполне понятно. Все эти «гармоники» должны иметь, естественно, тот же период, что и -изучаемая функция. Если ее период Т, то, кроме тригонометрических функций
,
 период T имеют и функции с частотами, кратными
, т.е.
,
при любом целом k > 0.

Гармоническое разложение функции f(t)

с периодом Т в общем случае имеет вид

причем число гармоник-слагаемых формально бесконечно велико. Те, кто изучал ряды Фурье, знают общие правила вычисления коэффициентов a0, а1, b1, а2, b2, ... Если ограничиться лишь небольшим число гармоник, скажем, тремя, то коэффициенты можно приближенно найти интерполяцией. Взяв за узлы точки t = 0; 0,4 и 1 (выбор достаточно произволен) и решив систему трех линейных алгебраических уравнений,получим

Значения функции ?(t) приведены в четвертой колонке табл. 7.5; они значительно ближе к бреал, чем бгарм. Обратим внимание на то, что первый коэффициент значительно больше остальных, что еще раз подчеркивает, что движение близко к гармоническому.

Рис. 7.19. Периодический сигнал, подобный вырабатываемому генератором

строчной развертки в телевизоре

Отвлечемся ненадолго от данной конкретной задачи и еще раз подчеркнем, что гармоническому разложению доступна любая периодическая функция. Например, периодический сигнал пилообразной формы (рис. 7.19), похожий на тот, который вырабатывает генератор строчной развертки в телевизоре, имеет следующее спектральное разложение;

Здесь уже нет столь быстрого спада коэффициентов при гармониках, так как исходная линия вовсе не похожа на синусоиду. Попробуйте протабулировать сумму вначале первых двух гармоник, затем трех, четырех и т.д. и пронаблюдать, как по мере роста числа слагаемых сумма все больше похожа на исходную функцию.




Содержание  Назад  Вперед