Информатика -продвинутый курс



         

КОЛЕБАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА - часть 2


Уравнение движения примет вид

(7.28)

Обычно в курсе физики ограничиваются исследованием малых колебаний. Если |?|<< 1, то уравнение (7.28) можно считать эквивалентным (так как sin ?

? ?; здесь и далее используется радианная мера углов) уравнению

Решение его элементарно:

где

 - собственная частота,
 - период колебания маятника. Значения  А и В зависят от начальных условий. Если при t = 0

то

или, как часто записывают,

где ? - так называемая, начальная фаза; А - амплитуда колебания; А и ?

легко выразить через начальные условия ?0

и v0.

Движение, происходящее по закону (7.29), называют гармоническим колебательным движением. Слово «гармонический» связывают с простой тригонометрической функцией (синусом или косинусом); так, гармоническим является и движение A sin (?t + ?), к которому также можно свести (7.29) (оно отличается лишь сдвигом фазы на ?/2).

Для изучения колебаний с большой амплитудой следует обратиться к уравнению (7.28), которое заведомо не интегрируется в элементарных функциях. Обезразмерим его, взяв за характерный масштаб времени период малого колебания. Если ? = t/T, то

(7.30)

Это уравнение вообще не содержит параметров! Достаточно его решить, и мы составим полное представление о природе «больших» колебаний. В этом проявляется сила приема обезразмернвания.

Сведем (7.30) к системе двух уравнений первого порядка:

(7.31)

Существенно, что система консервативна, и полная энергия сохраняется (до тех пор, пока мы не учитываем трение и воздействие извне):

(7.32)

В безразмерных переменных x и ?

(7.33)

Как и при моделировании движения небесных тел, сохранение ? в ходе интегрирования - прекрасный критерий для изучения устойчивости метода, выбора шага и т.д. На рис. 7.18 представлен график зависимости ?(?) для ?0

= ?/2 и v0 = 0 (сплошная линия). На первый взгляд, это косинусоида (7.29), но, во-первых, это не так (зрительным впечатлениям в таких случаях доверять особо не следует), а, во-вторых, у этого движения период отнюдь не определяется формулой, следующей из решения задачи о малых колебаниях.


Содержание  Назад  Вперед